Transcription

[227 r] à Berlin ce 6 Janvier 1775.

Je suis, mon cher et illustre Ami, depuis trois semaines incommodé d'un rhume affreux qui m'interdit toute sorte d'application, et qui me permet a peine d'ecrire. je ne veux cependant pas differer plus longtems a vous donner de mes nouvelles, et a repondre a votre lettre du 25 8bre qui m'est parvenue dans son tems, et par laquelle j'ai ete charmé d'apprendre que vous aviez reçu et gouté mon memoire sur les inclinaisons des Planetes. je suis infiniment sensible a ce que vous me dites de flatteur sur ce sujet ; et je vous prie d'etre convaincu que personne ne fait plus de cas de votre suffrage ni n'en sent mieux le prix que moi. M. d'Alembert me mande que vous venez de faire avec lui à l'Académie le rapport de mon Memoire ; je serais assés curieux de savoir comment il aura ete reçu par vos Astronomes ; mais je le suis surtout d'apprendre le resultat de la comparaison des déterminations que M. le Gentil a apportées des Indes, avec mes tables. si cette comparaison se trouvait sujette a des difficultés, je m'en chargerais volontiers moi même, et je la ferais pour plus d'exactitude, non avec les tables, mais avec les formules memes, de la precision desquelles je crois pouvoir repondre hardiment, puisque les calculs numeriques ont ete [227 v] refaits a plusieurs reprises, jusqu'a ce qu'il ne restat plus de scrupule sur leur justesse.

J'ai recu votre dernier paquet contenant vos memoires pour l'année 1772 ; j'ai lu et relu ces memoires avec le plus grand interet, et je les ai trouvés, comme tout ce que vous faites, remplis de vues neuves et profondes qui pourraient fournir la matiere de plusieurs ouvrages. la méthode du dernier article m'a singulierement plu par son < [... ?] > elegance et son utilité ; elle mériterait que vous prissiez la peine de lui donner plus de developpement, et que vous en fissiez l'objet d'un memoire à part, pour pouvoir le mettre plus a porté du commun des analistes. les series recurrantes avaient deja ete si souvent traitées qu'on eut dit que cette matiere était epuisée ; cependant voila une nouvelle application de ces series, plus <importantes> importante, a mon avis, qu'aucune de celles qu'on en a deja faites, et qui ouvre pour ainsi dire un nouveau champ pour la perfection du calcul integral.

Comme l'Academie me fait l'honneur de m'envoyer ce qu'elle publie, je vous prie de vouloir bien vous charger de retirer ce qui m'est destiné, et de le faire remettre au Libraire Durand neveu, rue galande [228 r] quartier StJacques, pour etre envoyé à Haude et Spener, à Berlin. Outre le volume de 1771 que je n'ai pas encore reçu je vois qu'il vient de paraitre le Vlll tome des tables de l'histoire et des memoires ; au cas que ce dernier ouvrage ne soit pas du nombre de ceux que l'Academie m'envoit, je vous serais infiniment obligé de vouloir bien engager le dit Libraire a me le faire aussi parvenir par le meme canal ; j'en pairai alors le prix a son correspondant Spener.

Qu'est-ce que c'est que l'Essai sur les Cometes que je vois annoncé quelque part ? qui en est l'autteur ? je vous prie de dire à M. de la Lande que j'ai reçu la connaissance des Tems de 1775, et que je l'en remercie de tout mon cœur.

La théorie des equations de Fontaine est, comme vous l'avez tres bien remarqué, fondée sur deux principes ; le premier que l'on peut toujours pour chaque système de facteurs trouver une fonction des coeficiens, qui devienne nulle lorsque deux des quantités consecutives $a$, $b$, $c$ &c. $o$ deviennent égales, et qui hors ce cas-la soit toujours plus grande ou plus petite que zéro. l'exemple que je vous ai apporté prouve que ce principe est en defaut dès le cinquieme degré ; mais pour les quattre premiers degré on en peut demontrer la justesse a priori ; cependant il <fait [?]> est faux que dans la formule $x^3+m{x}^2-nx-p$ (p. 546) la condition $2^3+mn-p=0$ soit particuliere au sisteme $(x-a)(x+a+b\sqrt{-1})(x+a-b\sqrt{-1})$ ; car la meme condition se trouve avoir lieu dans le sistème $(x+a)(x-b)(x+c)$ lorsque [228 v] $a=2b-c$. De meme il est faux que dans la formule $x^4-n{x}^2+px-q$ les deux sistèmes

$$\begin{gathered} (x+a)(x-b+c\sqrt{-1})(x-b-c\sqrt{-1})(x-b) \\ (x+a)(x-c+b\sqrt{-1})\times (x-c-b\sqrt{-1})(x-c) \end{gathered}$$

soient distingués de tous ceux de leur formule par la condition $2^4.3^4{n}^{4}q+\&c.=0$ (p. 571) ; car cette meme condition se trouve avoir lieu pour le sistème $(x+a)(x-b)(x-c)(x-d)$ (lequel appartient aussi à la meme formule) toutes les fois que $b=2c-d$

Le second principe c'est que lorsque deux sistèmes de facteurs de la meme formule ont la meme equation de condition pour le cas de l'égalité de deux des quantités $a$, $b$, $c$ &c. $o$, différentes dans les deux sistemes, on peut toujours trouver une fonction des coefficients qui soit nulle dans le cas commun aux deux systèmes, et qui soit toujours plus grande que zero dans l'un et plus petite dans l'autre. Cela est vrai et meme on peut trouver cette fonction directement et sans tatonnement. p. ex., pour la formule $x^3+m{x}^2+nx+p$ les deux systèmes $(x+a)(x+b)(x+b)$ et $(x+a)(x+a)(x+b)$ ont la meme condition ; pour trouver <la condition> |celle| qui doit les distinguer je n'ai qu'a considerer que l'equation $x^3+m{x}^2+nx+p=0$ a dans les deux cas des racines egales ; et il est facile de trouver par les methodes connues que la racine double doit etre exprimée par

$\frac{mn-9p}{2m^2-6n}$

par consequent la racine restante et simple le sera par

$m-2\frac{mn-9p}{2m^2-6n}$

or, pour le premier sistème, celle-ci doit etre plus grande que celle-la, et, pour le second sisteme, elle en doit etre plus petite ; donc on aura

$m-2\frac{mn-9p}{2m^2-6n}>$ ou $<\frac{mn-9p}{2m^2-6n}$ ;

donc multipliant par $2m^2-6n$, on aura necessairement $2m^3-9mn+27p>0$ dans le premier et $<0$ dans le second ; puisque $m^2$ est necessairement $>3n$, à cause que $m=\alpha +2\beta$ et $n=2\alpha \beta +2{\beta }^2$, en nommant $\alpha$ la racine simple et $\beta$ la double. Cela s'accorde avec ce qui se trouve page 512.

[229 r] Mais ce qui n'est pas vrai et qui met en defaut toute la theorie, c'est que la fonction, qui est plus grande que zero dans l'un des sistèmes et plus petite que zero dans l'autre, tant qu'il y a dans ces sistèmes egalité entre deux des quantités $a$, $b$, $c$ &c. $o$, le soit aussi <toujours> lorsque cette egalité cesse ; or c'est ce que la théorie de Fontaine suppose nécessairement puisqu’autrement on n'aurait que les conditions distinctives des sistèmes ou deux quantités sont egales. p. ex., de ce que pour le sistème $(x+a)(x+b)(x+b)$ on a $2m^3-9mn+27p>0$

M. Fontaine conclut qu'on aura la meme condition pour le sistème

$(x+a)(x+b+c\sqrt{-1})(x+b-c\sqrt{-1})$

lequel peut devenir celui-la par l'egalité de $c$ à zero. cela est exact dans ce cas mais il il y en a où la conclusion devient fausse. p. ex. de ce que le sisteme

$(x+a)(x-b)(x-c+d\sqrt{-1})(x-c-d\sqrt{-1})$

peut devenir, en faisant $d=0$, $(x+a)(x-b)(x-c{)}^2$ et que, pour ce dernier sisteme, on a trouvé $2n^3+2^3.3^{2}nq-3^3{p}^2>0$ (p. 571), on conclut (p. 576) que cette meme condition aura lieu en general dans le sisteme proposé ; cependant il est aisé de prouver que si b ne diffère que très peu de $c$ et d'une quantité plus petite que $d$ on aura $2n^3+2^3.3^{2}nq-3^3{p}^2<0$ ; car faisant $b=c$ on a $2n^3+2^3.3^{2}nq-3^3{p}^2=-3^2.2^5{b}^2{d}^4-2d^6$ quantité toujours négative.

Si vous demandez un plus grand detail sur cette matiere, je tacherai de vous satisfaire une autre fois, lorsque ma tete sera un peu meilleure. Je crois que votre Piece sur les Cometes sera toujours tres bien recue des Geometres comme remplie d'excellentes recherches d'Analise ; mais il me semble qu'elle serait plus propre pour un Memoire d'Academie que pour un Traité particulier ; au reste si vous ne la publiez pas avant le tems, on lui conservera les droits du concours, et je ne desespere pas de pouvoir lui faire rendre la justice qui lui est due.

[229 v] Adieu mon cher et illustre Ami, je vous demande pardon de vous avoir ecrit une si longue lettre, et je vous prie d'etre persuadé qu'on ne saurait rien ajouter aux vifs sentimens d'estime et d'amitié que je vous ai voués pour la vie. Je vous embrasse de tout mon cœur.

Lorsqu'on imprimera mes Memoires je serais bien aise si la chose est faisable d'en avoir un exemplaire a part. Je vous prie de faire avertir l'imprimeur de ne pas prendre les &c. pour des α grecs, ainsi qu'il a fait souvent dans la piece sur l'equation seculaire.

Je viens de lire le drame fort edifiant du Conclave dont vous aurez surement entendu parler ; en verité, ne vous semble-t-il pas que ces gens se moquent de nous ; mais Dieu merci nous leur rendons bien la pareille. Adieu iterum vale et me ama.